À l'école, nous étudions la géométrie euclidienne — celle de notre expérience quotidienne. Il est pratique de la dessiner dans un cahier d'école, et nous l’appelons aussi la géométrie « plate ».

Mais la géométrie n'est pas forcément toujours plate. Elle peut être courbe.

Le plus simple pour nous est d'imaginer un espace courbe en deux dimensions : une surface courbe. L’exemple le plus evident est la sphère.

Imaginons des êtres bidimensionnels vivant sur la surface d'une sphère, ignorant qu'il existe autre chose au-delà. Leurs corps seraient incurvés comme des fragments de sphère. Même leurs cahiers d'école seraient des morceaux de sphère ! Toute leur vie, tous leurs mouvements, y compris le soulèvement de leurs épaules en respirant (à supposer qu'ils aient des épaules), se dérouleraient exclusivement le long de cette surface.

Les concepts géométriques que ces créatures utilisent diffèrent bien de ceux qui nous sont familiers (euclidiens) : la somme des angles d'un triangle est supérieure à 180°, on peut marcher tout droit indéfiniment et revenir à son point de départ, ou encore se séparer de quelqu'un, partir dans des directions opposées, puis se retrouver soudain nez à nez !

D'ailleurs, la Terre est approximativement sphérique, donc d'une certaine manière, nous vivons nous aussi sur une sphère. Mais nous sommes en trois dimensions (nous avons de la hauteur). Et surtout, la Terre est immense par rapport à nous, donc le morceau de Terre autour de nous est toujours presque plate. C'est pourquoi, dans la vie de tous les jours, nous avons affaire à la géométrie d'Euclide (dite « plate »). En revanche, dans l'aviation et la navigation maritime, où les distances deviennent colossales, le fait que la surface de la Terre soit une sphère et que sa géométrie soit non euclidienne est un détail très important!

Un autre exemple d’espace courbe est l’espace hyperbolique. En 2D, l’espace hyperbolique ressemble à cette surface.

Alternativement, l'espace hyperbolique en 2D peut être vu comme un disque sans issue, appelé disque de Poincaré. Imaginons un disque magique doté d'une propriété extraordinaire : si vous vous trouvez sur ce disque, toutes les longueurs dépendent de votre distance par rapport au centre. Au centre, tout a une taille normale. Mais à mesure que l'on se rapprtoche du bord, toutes les distances et longueurs rétrécissent (voir l'ouvrage de Poincaré; à savoir que Beltrami a introduit ce modèle avant Poincaré).

Si vous étiez une créature vivant sur ce disque et que vous marchiez vers le bord en essayant d'y sortir, vous deviendriez de plus en plus petit en vous rapprochant du bord, et vos pas raccourciraient d'autant. Finalement, vous ne pourriez jamais sortir de ce disque - le bord est l'infini inacessible.

La géométrie dans un tel espace est surprenante : la somme des angles d'un triangle est inférieure à 180°, et si, dans le monde sphérique, tous les chemins mènent à la rencontre, ici, c'est la géométrie de la divergence éternelle et fulgurante.

L'équivalent de ce disque en trois dimensions est la boule de Poincaré. L'infini inacessible se trouve ici à la surface de cette boule.

Plaçons dans cet espace un grand nombre de points répartis aléatoirement. Le mot « aléatoire » a un sens bien précis en mathématiques : les points sont dispersés sans ordre, indépendamment les uns des autres, mais avec une densité moyenne uniforme. L'étude de la distribution de ces points aléatoires (appelée « processus ponctuel de Poisson », du nom du mathématicien français Siméon Denis Poisson) est cruciale. En effet, le hasard nous entoure, il est au cœur même de toute notre vie. Il est fondamental en mathématiques et en physique, car il permet de modéliser de nombreux phénomènes naturels.

Distribuons donc un grand nombre de points aléatoirement dans notre espace hyperbolique. Remarquez que la densité a l'air plus grande vers le bord du disque, mais c'est une illusion : rappelez-vous que toutes les distances rétrécissent près du bord.

Laissons maintenant ces points grandir dans toutes les directions, de sorte que chaque point devienne un petit disque (ou une sphère dans le cas 3D) avec un centre que nous appellerons « germe ». Imaginons que ces disques/sphères ne puissent pas s'interpénétrer : lorsque deux d'entre eux se touchent, ils se déforment et créent une frontière. Laissons-les grandir jusqu'à ce qu'ils remplissent complètement tout l'espace.

Évolution d’un diagramme de Voronoï dans l'espace hyperbolique 2D, R. Lyons, 2025

Qu'obtenons-nous ? Notre espace se retrouve ainsi divisé en cellules, chaque cellule possédant son propre « germe », c'est-à-dire le point d'où elle a commencé à croître. Si vous vous placez n'importe où dans l'une de ces cellules et que vous vous demandez : « Quel est le germe le plus proche de moi ? », la réponse sera : « Le germe de votre propre cellule ».

Ainsi, ces cellules divisent l'espace en zones d'influence : chaque germe définit une région constituée de tous les points qui sont plus proches de lui que de n'importe quel autre germe.

Diagramme de Voronoï dans l'espace hyperbolique 3D.

Une telle partition de l'espace s'appelle une tessellation de Voronoï (ou pavage de Voronoï). En raison de cette signification si claire, les tessellations de Voronoï nous entourent partout dès qu'il est question de zones d'influence ou de croissance concurrentielle.

Plaçons-nous maintenant au centre du disque (ou de la boule) de Poincaré, et faisons fuir tous les germes loin de nous vers l'infini, c'est-à-dire vers le bord du disque/de la boule de Poincaré. À la limite, lorsqu'ils se sont tous éloignés vers l'infini, les cellules de Voronoï prennent une structure tout à fait remarquable : chaque cellule s'étend jusqu'à l'infini. Ce cas limite est appelé tessellation idéale de Poisson-Voronoï.

Si l'on se concentre sur la cellule qui contient le centre (appelée la cellule zéro), on découvre qu'elle atteint la frontière en un seul et unique point. Une sorte de pont entre le centre et l'infini, infiniment grand du point de vue de l'espace hyperbolique, mais représenté par une superbe forme finie du point de vue de l'espace plat extérieur.

C'est cette cellule qui est à l'origine des formes de bijoux StoKaChic.

Cellule zéro dans l'espace hyperbolique 3D.